NumPy 构建规则矩阵

说明

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本文介绍 NumPy 通过构建一定规则的矩阵，这些矩阵往往具有特定的用途，这些方法可以大大提高我们构造相应矩阵的效率。

概述

有以下常用的方法，可以构建一定规则的矩阵（按 np.xxx 格式使用）。

方法	说明
np.diag(v[, k])	提取对角线或构造对角线数组
np.diagflat(v[, k])	创建一个二维数组，将展平的输入作为对角线
np.tri(N[, M, k, dtype])	在给定的对角线上和对角线下为 1，在其他地方为 0
np.tril(m[, k])	数组的下三角
np.triu(m[, k])	数组的上三角
np.vander(x[, N, increasing])	生成范德蒙矩阵（Vandermonde matrix）

提取构造对角线数组 np.diag

如果传入的是一个二维数组，提取出对角线的值形成一个一维数组，还可以传入参数 k 对对角线做下移和下移；如果传入一个一维数组，则生成一个对角线数组，对角线上的值为一维数组的值。

x = np.arange(9).reshape((3,3))
x
'''
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])
'''
# 传入的是二维数组，提取出对角线上的值数组
np.diag(x)
# array([0, 4, 8])
np.diag(x, k=1) # 上移
# array([1, 5])
np.diag(x, k=-1) # 下移
# array([3, 7])

# 将一维数组转为方阵，对角线为数组值
np.diag(np.arange(4))
'''
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 2, 0],
       [0, 0, 0, 3]])
'''
np.diag(np.arange(4), k=-1) # 下移一位

# 提取出对角线再将对象线生成方阵
np.diag(np.diag(x))
'''
array([[0, 0, 0],
       [0, 4, 0],
       [0, 0, 8]])
'''

展开为对角线 np.diagflat

将原数组（array_like）展平输入作为对角线二维数组的对角线的值。

np.diagflat([[1,2], [3,4]])
'''
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 0],
       [0, 0, 0, 4]])
'''
# 设定 k 值，上移 1 位
np.diagflat([1,2], 1)
'''
array([[0, 1, 0],
       [0, 0, 2],
       [0, 0, 0]])
'''

三角矩阵 np.tri

用于创建一个数组，该数组在给定对角线处和下方（在这种情况下为k）包含1，在数组的所有其他位置包含 0。

# 语法
# numpy.tri(N, M=None, k=0, dtype=<class 'float'>)
# 上移 2 位
np.tri(3, 5, 2, dtype=int)
'''
array([[1, 1, 1, 0, 0],
       [1, 1, 1, 1, 0],
       [1, 1, 1, 1, 1]])
'''
# 下移一位
np.tri(3, 5, -1)
'''
array([[0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
       [1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
       [1.,  1.,  0.,  0.,  0.]])
'''

下三角矩阵 np.tril

数组的下三角矩阵，返回一个数组的副本，该数组的第 k 条对角线上方的元素为零。

np.tril([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12]], -1)
'''
array([[ 0,  0,  0],
       [ 4,  0,  0],
       [ 7,  8,  0],
       [10, 11, 12]])
'''

上三角矩阵 np.triu

数组的上三角形，返回一个矩阵的副本，其中第 k 条对角线以下的元素归零。

np.triu([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11,12]], -1)
'''
array([[ 1,  2,  3],
       [ 4,  5,  6],
       [ 0,  8,  9],
       [ 0,  0, 12]])
'''

范德蒙矩阵 np.vander

法国数学家范德蒙(Alexandre-Théophile Vandermonde) 是行列式的奠基者之一，他在十八世纪提出行列式专有符号，将行列式应用于解线性方程组，并且对行列式理论进行了开创性的研究。两百多年后，他的名字因为一个特殊矩阵而经常被提及。

范德蒙矩阵

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

生成范德蒙矩阵（Vandermonde matrix，又称范德蒙特行列式），输出矩阵的列是输入向量的幂。幂的顺序由递增的布尔参数决定。具体地说，当递增为 False 时，第 i 个输出列是按 N-i-1 的幂提升的输入向量元素。这样一个每行有一个几何级数的矩阵被命名为 Alexandre-Theophile Vandermonde。可用来证明一个矩阵的不同特征根的特征向量线性无关。

# 语法
np.vander(x, N=None, increasing=False)

x = np.array([1, 2, 3, 5])
N = 3
np.vander(x, N)
'''
array([[ 1,  1,  1],
       [ 4,  2,  1],
       [ 9,  3,  1],
       [25,  5,  1]])
'''
np.column_stack([x**(N-1-i) for i in range(N)])
'''
array([[ 1,  1,  1],
       [ 4,  2,  1],
       [ 9,  3,  1],
       [25,  5,  1]])
'''
x = np.array([1, 2, 3, 5])
np.vander(x)
'''
array([[  1,   1,   1,   1],
       [  8,   4,   2,   1],
       [ 27,   9,   3,   1],
       [125,  25,   5,   1]])
'''
np.vander(x, increasing=True) # 升序
'''
array([[  1,   1,   1,   1],
       [  1,   2,   4,   8],
       [  1,   3,   9,  27],
       [  1,   5,  25, 125]])
'''
# 平方范德蒙矩阵行列式是输入向量值之差的乘积
np.linalg.det(np.vander(x))
# 48.000000000000043 # may vary
(5-3)*(5-2)*(5-1)*(3-2)*(3-1)*(2-1)
# 48